Posted By: klimes () on 'CZphilosophy'
Title:     Jedna aporie.
Date:      Fri Feb  7 03:02:51 1997

Cau lidi,

mam chut se s vami podelit o jednu zajimavou aporii.

---------------------------------------------------------------------------
Mejme radu cisel N definovanou indukci "Mam nulu a pro kazde n existuje (n 
+ 1)", tj. napriklad radu prirozenych cisel, kde jakekoliv dva prvky A,B 
jsou srovnatelne: Muzeme rici, zda  A>B nebo B>A

A nyni stejnou matematickou indukci se pokusime dokazat spor: 

"Tato rada ma nejvetsi a nejmensi prvek."

A to tak, ze dokazeme, ze kazda vlastni podmnozina teto rady ma 
nejmensi a nejvetsi prvek.

Kazdy dukaz indukci se provadi ve dvou krocich 1) dokazeme ze veta plati 
pro prvni clen indukcniho dukazu a 2) dokazeme indukcni krok, tj. 
IMPLIKACI: Jestlize plati pro K, pak plati i pro K+1. Nic vic k dukazu 
matematickou indukci nepotrebujeme. Takto tedy i zde:

1) Tvrzeni plati pro jakoukoliv dvouprvkovou mnozinu, protoze 
jsou vsechy cleny rady N srovnatelne, tedy v dvouprvkove mnozine jeden z 
nich je nejvetsi a druhy nejmensi.

2) Indukcni krok - Musime dokazat implikaci: Jestlize X je mnozina, ktera ma 
nejvetsi a nejmensi prvek (Max a Min), pak i mnozina Y = (X+c), kde c je 
jakykoliv  prvek mnoziny N, ma nejvetsi a nejmensi prvek. 

To je zrejme, protoze novy prvek c, bud lezi mezi Min a Max nebo 
je jednim z krajnich clenu mnoziny Y.

Jelikoz oba kroky matematicke indukce jsou dokazany, musime konstatovat, 
ze kazda vlastni podmnozina N ma nejvetsi a nejmensi prvek, tedy i 
mnozina N, protoze je sama svou vlastni podmnozinou. 

Jestlize ma N maximalni a minimalni prvek Min a Max, pak zjevne dospivame 
ke sporu s definici rady N, ktera tvrdi, ze i pro Max musi existovat 
(Max+1), cim by tedy Max nebylo nejvyssi. 

Protoze samotny dukaz je proveden formalne spravne, musime konstatovat, 
ze teorie prirozenych cisel je vnitrne sporna.
----------------------------------------------------------------------

No nevim presne, jak by se takova aporie resila, proto prosim o radu. 

Existuji vcelku dve moznosti. Bud reknu, ze chyba je ve formalnim odvozeni 
daneho dukazu, coz tam podle meho soudu neni. A nebo ze je teorie prirozenych 
cisle vnitrne sporna. Coz je zase absurdni zaver pro matematiky. 
Tak nevim.

Jerom
Jeronym Klimes
http://ms.anet.cz/~srpcuns/klimes.htm
srpcuns@ms.anet.cz
Heslo dne: Vivat iustitia, pereat Mundus.
           (At zije spravedlnost, at zhyne svet.)