Posted By: Lumo (Lumidek king superstring) on 'CZphilosophy'
Title: Hypoteza kontinua od laika pro laika
Date: Mon Dec 16 20:52:41 1996
Ahoj lidi,
sam se v teorii mnozin nevyznam, nikdy jsem se to oficialne neucil, jen jsem
se kdysi laicky zabyval tim, jak takove veci mohou ovlivnit filosofii :-) - a
zcasti tomuto nazoru dal za pravdu. Nevim tedy, zda budu rikat "slabou" nebo
"silnou" verzi hypotezy kontinua, uz jsem to zapomnel. Snad to bude o to
pochopitelnejsi pro vsechny. (Pripadne detaily opravte.)
Jde o problem s teoriemi mnozin. Teorie mnozin uznava cosi jako kardinalitu
mnozin - coz je pocet jejich prvku z mnozinoveho hlediska. Kardinalita
petiprvkove mnoziny je pet - respektive neco, co je stejne u vsech mnozin
stejne mohutnych. Pocet prvku mnoziny prirozenych cisel je "omega" - takovym
mnozinam se rika "spocetne" - a pocet realnych cisel je stejny, jako vsech
zobrazeni, ktera prirozenemu cislu prirazuji cislo z nejake konecne mnoziny;
to odpovida tomu, ze realne cislo lze zapsat desetinnym rozvojem. Mohutnost
mnoziny realnych cisel (obecneji "kontinua") je tedy "dve na omega".
Pak vam axiomy teorie mnozin zaruci, ze kardinalni cisla (tj. mozne "pocty
prvku") lze srovnat - o kazdych dvou lze rici, jestli jsou stejna, pripadne
ktere je vetsi. Kdyz ma mnozina A vetsi mohutnost (kardinalitu) nez B,
znamena to, ze existuje proste zobrazeni z B na A, ale nikoliv naopak.
Jestlize maji dve mnoziny stejnou mohutnost, existuje proste zobrazeni na obe
strany.
Ted se podivejme na mozne mohutnosti. Prazdna mnozina ma nula, jednoprvkova
jedna, dvojprvkova dva atd... - pak existuje az omega - coz je jakasi limita
techto prirozenych cisel. Z hlediska kardinalu je omega totez co omega+1.
Pokud pridame k prirozenym cislum (pocitam sem i nulu treba) dalsi prvek,
rekneme minus jedna, dostaneme stejne velkou mnozinu "N-1", jejiz prvky
jednoznacne priradime puvodnim prirozenym cislum tak, ze od tech puvodnich
prirozenych cisel odecteme jednicku.
Cili za kardinalem "omega" hned tak neco neni. Kdyz hledame neco vetsiho,
dojdeme k necemu az u kontinua, tj. mnoziny realnych cisel, rekneme z
intervalu <0,1). Ta je evidentne aspon tak mohutna, jako mnozina prir. cisel,
protoze realne lze ziskat z prirozeneho N jako 1/(N+1) rekneme - a takove
zobrazeni je proste.
Ovsem zpetne proste zobrazeni neexistuje - tj. realnych cisel z <0,1) je vice
nez prirozenych cisel. Jinymi slovy, je jich "nespocetne mnoho". To se ukaze
jednoduchym "diagonalnim" dukazem, ktery asi pochazi od Cantora:
Predpokladejme, ze vsechna realna cisla z <0,1) lze jednoznacne priradit
prirozenym cislum. Tj. lze ocislovat realna cisla. Na kazdou radku (poradi
radky je to prirozene cislo) napiseme jedno realne cislo z <0,1), napr.
0: 0,02352305852... (tuto radku dostante nahoru nasobnym stiskem enteru)
1: 0.86293659238... (budete ji potrebovat)
2: 0.31415926535...
3: 0.31289561891...
4: 0.12488169696...
5: 0.96120300123...
atd.
Pro libovolne takove ocislovani realnych cisel lze najit cislo, ktere urcite
neni na zadne radce: ziskame ho tak, ze z prvni radky vezmeme prvni decimalu
(0), z dalsi druhou (6) (z 0.86...), z dalsi treti (4) atd. Ziskame
posloupnost 064883... ted staci kazdou cislici zmenit (napriklad pricist k ni
jedna modulo deset) - a dostaneme 0,175994... coz je cislo, ktere se nemuze
shodovat s zadnym cislem na radkach - protoze s kazdym se neshoduje aspon v
jedne cislici - tak jsme ho ziskali.
Tedy mohutnost realnych cisel je vetsi nez prirozenych. Napada nas jednoducha
otazka - zda je jeste nejaka mohutnost mezi temito dvema mohutnostmi. Veskere
snahy o dukaz byly neuspesne - veskere snahy o dukaz opaku byly take
neuspesne. A nebylo to nahodou - lidem se nakonec podarilo ukazat, ze ani
jedna z techto variant z ostatnich axiomu teorie mnozin neplyne (takove veci
delal a snad dela Petr Vopenka, nemohu to nerici). ;-)
Presto je plno matematiku jaksi "nabozensky" presvedceno, ze jedna z odpovedi
je urcite pravdivejsi nez druha, ze neco jako "realne existuji svet mnozin"
existuje nezavisle na nasich axiomech. Nekteri jedne z variant strani, jini
nikoliv.
Muj nazor v tomto nema prilis zasadni cenu, protoze uz jsem parkrat v zivote
zmenil nazor na tuto otazku. Ale dnes si spise myslim, ze zadny "realny svet
mnozin", kde odpoved na otazku pravdivosti hypotezy kontinua ma smysl
nezavisle na nasich axiomech - neexistuje. Jaksi verim realne existenci jen
prirozenych cisel a "spocetnych objektu" - a uz dukaz o existenci nespocetne
mnoziny pokladam spise za jakousi hricku se spocetnymi objekty.
To samozrejme nic nemeni na tom, ze mnoziny nespocetne (z hlediska teorie
mnozin) hraji ve fyzice apod. jeste zasadnejsi ulohu nez spocetne. Ale jaksi
si myslim, ze vsechny vety o realnych cislech apod. v sobe obsahuji jen jaksi
zakodovany system tvrzeni o prirozenych cislech a algoritmech s nimi (ovsem
opravdu mnoho takovych vet najednou, protoze ta realna cisla lze
reprezentovat mnoha zpusoby) - a ze kazdy jiny nazor vychazi jen z toho, ze
realna cisla zname jeste z jedne oblasti ideji: z realneho zivota nasich
smyslovych zazitku. :-)
///// Superstring/M-theory is the language in which God wrote the world.
/// O __ Your Lumidek. mailto:motl@menza.mff.cuni.cz
/// ---------------------------------------------------
///_______/ http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lumo/
The most incomprehensible thing about the world is that it's comprehensible. AE
-------------------------------------------------------------------------------