Posted By: Lumo (http://www.motl.org/) on 'CZriddles'
Title: Cantoruv dukaz
Date: Wed Nov 26 01:35:16 1997
Ahoj lidi,
mame prece jenom posunuty cas, tak alespon dodatecne. Samozrejme, souhlasim s
rolnickym tridnim zarazenim argumentu o shodnosti poctu racionalnich a
iracionalnich cisel. Opravdu dokazuje jen to, ze je obou nekonecne mnoho.
Explicitne radeji ukazu, v jakem smyslu je iracionalnich cisel vice nez
racionalnich. Racionalni cisla jsou tzv. spocetna, tj. je jich stejne jako
prirozenych cisel, z hlediska teorie mnozin.
Kazde racionalni cislo lze zapsat jako konecnou posloupnost pismen, napriklad
"minuspettretin". Ovsem vsechny konecne posloupnosti pismen lze ocislovat,
seradime-li je do rady "a,b,c...z, aa,ab,ac...az,ba,bb..bz,...,za...zz,
aaa,aab,aac,...zzz, ......" atd., totiz nejdrive podle poctu pismen vzestupne
a jako druhe kriterium podle abecedy. To jest, posloupnosti pismen je stejne
jako prirozenych cisel. Muzeme take ocislovat jen ty, ktere skryvaji nejake
iracionalni cislo, cili i racionalnich cisel je stejne.
Pokud by bylo iracionalnich cisel stejne, sly by take ocislovat. Pak bychom
mohli psat stridave racionalni a iracionalni cisla a ocislovat je spolecne,
tj. i realna cisla bychom mohli jednoznacne priradit prirozenym cislum.
Nasledujic Cantora vam ukazu, ze realnych cisel je ve skutecnosti mnohem
vice. Podobne uvazovani je v teorii mnozin a logice kazdodennim chlebem.
Predpokladejme, ze dokazeme ocislovat realna cisla, uvazujme jen realna cisla
z intervalu <0,1). Funkce arctg(x)*2/pi nam nakonec jednoznacne priradi
realna cisla na interval (-1,1), ktery muze byt funkci (x+1)/2 preveden na
(0,1). Jedno cislo 0 nehraje roli, vzdy ho lze vsunout...
Pokud umime ocislovat realna cisla, lze je psat desetinnym rozvojem pod sebe.
Dane cislovani napriklad vypada
0.19873465325....
0.08235098610....
0.95720123748....
0.75829577109....
0.56739482019....
0.25476897309....
...
Cantoruv argument je velmi fikany. Muzeme z dane tabulky vyrobit nove cislo z
intervalu jako nula cela ... a na k-te desetinne misto dejme k-te desetinne
cislo z k-te radky, v nasem pripade 0.187298.... Nyni zmenme kazdou cislici,
napriklad pricteme ke kazde jedna (modulo 10). Dostaneme 0.298309... Vsimnete
si, ze zmenit cislice muzeme ohromnym mnozstvim zpusobu!
Argument pokracuje tak, ze tohle cislo v dane tabulce nikde nemuze byt. Kdyby
bylo v n-te radce, musi se shodovat ve vsech cislicich - a to i v n-te,
kterou jsme ale schvalne vyrobili tak, aby se na n-tem miste lisila od cisla
na n-te radce. Proto je realnych cisel mnohem vice nez prirozenych (a
racionalnich).
///// Superstring/M-theory is the language in which God wrote the world.
/// O __ Your Lumidek. mailto:motl@physics.rutgers.edu, motl@usa.net
/// ---------------------------------------------------
///_______/ http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lumo/, http://www.motl.org/
Mazte zbytecne casti replikovanych postu. Uzijte hmat CTRL/K pro smazani radky!
-------------------------------------------------------------------------------