Posted By: LubosMotl (Lumo King Superstring) on 'CZscience'
Title:     Geometrie vesmiru & Co nevi clovek, ktery nevi
Date:      Tue May  2 17:30:32 1995

Mili, kteri nechcete setrvat v neznalosti,

>  Kdyz uz tady byla rec o vesmiru. Zjistilo se uz, jestli ve vesmiru plati 
> vseobecne Eukleidovska geometrie, nebo geometrie zalozena na jinem podklade?
> 
Konecne take rozumny namet k diskusi, a to i slozitosti.

Nuze, v prvych radach, podle specialni teorie relativity (o jejichz zaverech 
pro fysiku neni prakticky pochyb) nelze oddelit cas a prostor; v jinych 
inercialnich systemech se nam casova a prostorova souradnice micha.
Podle formalismu Minkowskeho (byl ucitelem Einsteina) lze zavest geometrii v 
celem casoprostoru tak, ze Pythagorova veta

      s^2=x^2+y^2+z^2

se rozsiri a modifikuje na geometrii casoprostoru

      s^2=-c^2t^2+x^2+y^2+z^2.

Vsimnete si, ze pred kvadratem casu (nasobenym kvadratem rychlosti svetla) je 
znamenko minus, diky cemuz neni geometrie casoprostoru uplne stejna jako 
geometrie prostoru. 

Obecna relativita a geometrie vesmiru
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
 Einstein na to kapl: zobecneni specialni relativity nasel v tom, ze 
dostatecne male oblasti casoprostoru se ridi stejnou geometrii, jako ve 
specialni relativite. Ono zobecneni zalezi v pouziti Riemannovy geometrie 
jakozto nejprirozenejsiho zobecneni geometrie euklidovske.

 Podle Riemannovy geometrie se pocita ctverec delky maleho vektoru daneho 
souradnicemi dx^mu, kde mu (pismeno recke abecedy mi) nabyva hodnot od 
jedne do dimense prostoru podle

  ds^2=sum_{munu}g_{munu}(x)dx^{mu} dx^{nu}

kde suma pres indexy mu, nu probiha pres vsech d^2 kombinaci 11....dd.
Koeficienty g_{munu} mohou byt jiz funkcemi polohy v prostoru (tj. 
souradnic x). V pripade plocheho prostoru jsou slozky tzv. metrickeho tensoru 
g_{munu} konstanty (matice je diagonalni, obsahuje -1,1,1,1). (Presneji, lze 
zvolit takove souradnice, kde ma g_munu dany tvar.) 

Obecne vsak g_{munu} zavisi na x, coz mame na mysli, mluvime-li o zakriveni 
casoprostoru.

Ano, pokud zavery obecne relativity bereme jen trochu vazne, geometrie 
vesmiru je zakrivena. Castice se pohybuji po 'geodetikach' - tj carach 
extremni delky. Predstavme si, ze je casoprostor zakriven podobne jako sfera. 
Na sfere jsou geodetikami maximalni kruznice (napr. poledniky), ktere se 
mohou priblizovat jedna k druhe (poledniky se protnou na polech).

A podobne jako se poledniky priblizuji, tak se i priblizuji telesa v 
gravitacnim poli; zakriveni prostoru je zase dano pritomnosti hmoty v 
prostoru a ma podobne nasledky jako Newtonuv zakon, byt s drobnymi korekcemi, 
ktere byly overeny experimenty (ve prospech obecne Einsteinovy relativity).

Obecna relativita je dobre overena na neutronovych hvezdach, pulsarech, 
staceni perihelia Merkura, zakriveni paprsku v poli Slunce, rudym gravitacnim 
posuvem apod., coz vse dodava zasadni duvody k vire v Riemannovu geometrii 
naseho vesmiru.

Krome toho je zajimava otazka topologie vesmiru: je konecny (podobne jako 
povrch Zemekoule)? Nekonecny plochy? Nekonecny se zapornou krivosti? 

Geometrie vesmiru a blizka budoucnost
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
  Existuji jiz dnes 'nekomutativni geometrie', ktere predpokladaji, ze 
geometrie na urovni 10^{-18}m je zkreslena tim, ze souradnice uz zcela 
nekomutuji. Tyto efekty se vsak predpokladaji vetsinou az na planckovskych 
delkach (10^{-35}m) - to je delka, ktera se rovna jedne, pokud postavite 
rovny jedne konstanty: rychlost svetla, Planckova, Newtonova gravitacni...

  Sverazne modifikace od interpretace geometrie se predpokladaji od teorie 
strun: jiz dnes zname mnoho predpovedi toho, co jednou nabude jasnou 
matematickou formu: dualita mezi spojitym a diskretnim casoprostorem, princip 
neurcitosti, podle ktereho nema smysl merit mensi vzdalenosti nez planckovske 
apod. 

>                                                      OWL 
>  I know, that I know nothing .... (but I'm not sure, I know it)

Mimo jine, tohle mne prijde velmi moudre. (Narozdil od lidi, kteri jsou si 
zcela jisti, ze vedci prakticky nic nevedi.)
 
>     Vim, ze nic nevim ............ (ale to jeste nevim tak uplne jiste)

Co clovek nevi, kdyz nevi
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
  Chtel bych rici jednu myslenku, ktera zasadne nezni casto. Ze totiz clovek 
do te doby, dokud nepozna nejakou teorii, nejen, ze nezna odpovedi na otazky, 
ktere tato teorie resi, nybrz take nevi, ktere predpoklady by mely byti 
prijimany s duverou takrka nezpochybnitelnou, ktere naopak by mely byt drzeny 
v mysli jako nejiste predpoklady. Takovy clovek opravdu netusi ani to, ktere 
otazky v dane problematice stoji za badani a ktere jsou naopak nezajimave... 
To vse prichazi teprve s poznanim.

Nejak to tady vazne, trojminutovy lag nevesti nic dobreho, takze to zkusim 
savnout. :) 

     /////   Ten dimensions is the right number for the world to ensure love.
   /// O __             Your Lumo  ;-)  motl@menza.mff.cuni.cz
  ///       
 ///_______/    http://webik.ms.mff.cuni.cz/lmot2220/webik/czlum852.htm