Posted By: LubosMotl (* Lumo King Superstring *) on 'CZscience'
Title: Kvantova teorie pro panice I.
Date: Tue Jan 2 18:35:13 1996
Mily Jovo, vazeni ctenari,
vitejte u prvniho dilu Kvantove teorie pro (vedecke) panice.
Budeme predpokladat, ze ctenar rozumi klasicke mechanice, tj. treba zakonum,
podle kterych se pohybuji planety kolem Slunce, Newtonovy zakony apod.
F=ma F (gravitacni)=kappa.m.M/r^2 apod.
(a je zrychleni, druha derivace polohy podle casu)
Newtonova teorie sehrala od sveho vzniku v 17.stoleti dodnes zasadni roli v
rozvoji vedy i techniky, cimz je dana jeji pravdivost.
Ovsem na prelomu minuleho a naseho stoleti se zacaly ukazovat prvni znamky
toho, ze nebude uplne stoprocetne spravna. Jednak se objevily jevy, vedouci k
teorii relativity. Tak napriklad Morley-Michelsonuv pokus ukazal, ze rychlost
svetla se "nesklada" s rychlosti pozorovatele ani zdroje, ze je stale presne
299 792 458 m/s. Einsteina vsak vedly hlavne ESTETICKE duvody k objevu
specialni teorie relativity... (1905)
Teorie relativity pak doznala rozvinuti do formy obecne relativity (1916),
popisujici gravitaci, ale touto vetvi rozvoje fyziky se nevydame. My se
soustredime na KVANTOVE JEVY.
Stabilita atomu
^^^^^^^^^^^^^^^
Pro klasickou fyziku byla nepochopitelna i tak zakladni skutecnost, jako to,
ze atomy jsou stabilni. Podle klasicke teorie elektromagnetismu, elektron
obihajici jadro se pohybuje zrychlenym pohybem a musi tedy vyzarovat energii
ve forme elmg. zareni. Energii tim ztraci a (asi za nanosekundy) spadne do
jadra.
Proto dansky makac Niels Bohr (mimo jine, reprezentant ve fotbale) vymyslil
teorii, ktera krome stability vysvetlila i spektralni cary vodiku.
Spektrum vodiku
^^^^^^^^^^^^^^^
Kdyz zahrejeme plyn (vodik) a svitime skrz nej svetlem, ktere po pruchodu
rozkladame hranolem (abychom vytvorili duhu), z duhy budou chybet jen urcite
prouzky (absorpcni spektrum). Sam plyn ma take emisni spektrum, ktere
vyzaruje sam, a ma take carovy charakter. Jsou v nem vyrazne zcela ostre cary
danych frekvenci, zmerenych experimentalne, o kterych lide brzy zjistili, ze
maji celkem jednoduse spocitatelnou velikost
f=konst.(1/k^2 - 1/n^2)
Niles Bohr proste rekl, ze elektron muze mit jen urcite hodnoty energie (tj.
muze obihat jen v urcitych konkretnich vzdalenostech od jadra) a v techto
orbitach je stabilni a nevyzaruje. Vyzaruje jen pri prechodu z jedne do jine,
a to foton s energii rovne rozdilu energii na tech orbitach. (Energie fotonu
je E=hf, kde h=6.626.10^{-34} Js je Planckova konstanta.) Bohr dokonce jeste
mohl ty konkretni hladiny najit z pozadavku, ze pocet tzv. de Broglieovych
vln musi byt na orbite cely: de Broglieova vlna je spojena s kazdou
pohybujici se castici a jeji vlnova delka je
lambda = h / p,
kde p je hybnost castice. (Tuto hypotezu Francouz Louis de Broglie dostal
rozsirenim teze jiz zname relace pro fotony.) Ovsem Bohruv model atomu vodiku
se jen NAHODOU shoduje s realitou, takze se jim nebudeme zabyvat.
Vlnova funkce
^^^^^^^^^^^^^
Elektrony, odrazene od krystalu, ukazovaly zcela analogicke vlnove
vlastnosti jako svetlo. Nazornejsi nez krystal je (technicky hure
realizovatelny) dvousterbinovy pokus. Elektrony, prochazejici deskou s dvema
dirkami, nevytvori na stinitku stejny obraz jako je proste slozeni obrazu
z pokusu, kde je otevrena jen jedna resp. druha dirka: vytvori tzv.
INTERFERENCNI obrazec, plny tenkych prouzku apod. Interference je jev znamy v
kazdem vlneni.
Cili elektron se musi chovat v jistem smyslu jako vlna. Ma-li energii E a
hybnost p (vektor), podle de Broglieovy hypotezy mu pripiseme vlnu, ktera v
bode x (vektor) prostoru a case t ma velikost
psi(x) = exp (i/hbar.(Et-p.x)), kde hbar=h/2pi=1.054.10^{-34} Js
(hbar je mala Planckova konstanta), i je imaginarni jednotka. Vlnova delka je
vzdalenost, na niz ma psi stejnou hodnotu: 1/hbar.p.x se tedy musi zmenit
o nasobek 2pi, tj. 2pi/h.p.x o nasobek 2pi, tj. x se musi zmenit o nasobek
h/p, coz je tedy vlnova delka. Pripsani Et chapejte jako dusledek treba teorie
relativity: Et-p.x je relativisticky invariantni (pokud pod E chapeme celkovou
energii).
Kdo nezna komplexni cisla, at se je nauci: pro exponencialu komplexniho
parametru plati exp(ix)=cos x + i.sin x.
Zapomenme na vsechny tyto slozitosti - a hlavne rekneme, ze ELEKTRON BUDEME
POPISOVAT KOMPLEXNI FUNKCI PROSTOROVYCH A CASOVYCH SOURADNIC a ze pokud
chceme dat elektronu presnou energii a hybnost, pak tato funkce bude mit dany
tvar
psi(x) = exp(-i/hbar.(Et-p.x)).
Takova funkce je nenulova v celem prostoru, a tedy poloha castice je zcela
neurcita. Muzeme tu funkci priblizit nule v celem prostoru vyjma male
oblasti, tim ale udelame neurcitou vlnovou delku. Obecne plati vztah
neurcitost polohy . neurcitost hybnosti >= hbar/2.
Slo jen o to najit spravnou rovnici, kterou se vlnova funkce ridi. Nalezl ji
Schrodinger roku 1925: zderivovanim funkce psi(x) podle casu mame (po
vynasobeni i.hbar) [derivovanim exponencialy nejake funkce dostaneme opet
touz exponencialu, nasobenou navic derivaci te vnitrni funkce]
i.hbar (parc.) d/dt psi(x) = E.psi(x)
to znamena, ze funkce se nam VYNASOBI energii. Naopak, zderivovanim podle
X-ove souradnice a vynasobenim -i.hbar se nam funkce psi vynasobi p_x:
-i.hbar (parc.) d/dx psi(x) = p_x.psi(x).
Muzeme tedy operator -i.hbar.d/dx (tedy stroj, ktery z dane funkce vyrobi
jeji derivaci a pak ji znasobi -i.hbar) chapat jako operator hybnosti p_x.
Kineticka energie castice je (i klasicky) rovna
E_{kin}=mv^2/2=m(p/m)^2/2= p^2/(2m)
a Schrodingerovu rovnici proste dostaneme pozadavkem, ze se energie spoctene
obema zpusoby musi rovnat:
i.hbar d/dt psi(x,t) = ((-i.hbar.grad)^2/(2m) + U(x)).psi(x).
Nalevo je parcialni casove derivace psi, ktera (jak jsme spocetli) znasobi
funkci E. Vpravo je kineticka+potencialni energie krat psi.
To jsme to zamlzili, mili panicove... priste jednoduseji.
///// Superstring theory is the language in which God wrote the world.
/// O __ Your Lumo ;-) motl@menza.mff.cuni.cz
///
///_______/ http://www.ms.mff.cuni.cz/acad/webik/~lmot2220/czlumwin.html
Az jednoho velekrasneho dne - 32.unora 1996 - stane se vule bozi...