Posted By: Pavouk (Pavouk) on 'CZscience' Title: Pavoukova QM pro zacatecniky Date: Wed Jan 10 14:59:02 1996 Zdravim vsechny hloubajici vedce! Zajima vas kvantova teorie? Pak je tu Pavoukova kvantova teorie pro zacatecniky. Ukazu vam, jak je mozno bez slozite matematiky dostat nektere kvalitativni vysledky QM. Pro Luma bych chtel poznamenat, ze nasledujici rovnice jsou kvalitativni, tj. ne zcela rigorozni, nicmene fyzika, ktera je za tim schovana neni ohrozena. 1) relace neurcitosti a atom vodiku Ukazeme si jak je mozno dostat z relaci neurcitosti reseni pro atom vodiku a) kvantovy tlak Heisenbergovy relace neurcitosti nam rikaji ze I) dx . dp > h neboli pro jakesi prumerne hodnoty x,p x.p=h To znamena, ze budeme-li se snazit stlacit kvantovou castici do maleho objemu bude se zvetsovat mozna hybnost castice, ktera bude pusobit proti smeru stlaceni. Kinetickou energii castice si muzeme vyjadrit E=p^2/2m, s pouzitim relace neurcitosti II) E= h^2/(2m.x^2) = h^2/2m. V^(-2/3) Vime, ze tlak je derivace energie podle objemu, tj. dostaneme III) p= h^2/(3m.x^5) = h^2/3m. V^(-5/3) Toto je tlak, jenz pusobi proti smeru stlacovani castice do objemu V, a jehoz puvod je ciste kvantovy. b) Atom vodiku Mame-li atom vodiku pak pritazlivy potencial elektronu a jadra je -e^2/x, celkova energie je tedy souctem "pritazlive" elektrostaticke a "odpudive" kvantove energie, tj. IV) E=-e^2 /x + h^2/(2m.x^2) Pro x=(h/e)^2 /m = Bohruv polomer nabyva energie minima a sice V) E=-m .e^4/2/(h^2)= 1 Rydberg Vidime, ze jsme dostali jedny ze zakladnich vysledku kvantove mechaniky ciste kvalitativnimi uvahami aniz jsme museli resit nejakou Schrodingerovu rovnici. Bohruv polomer nam predstavuje zakladni delkovou jednotku pro velikost atomu. Molekuly pak budou mit velikost v nasobcich teto veliciny. Energie 1 Rydberg zase predstavuje typickou velikost vazbove konstanty. Obdobnou uvahou dostaneme tzv. jaderny bohruv polomer a=(h/g)^2/M a jadernou Rydbergovu konstantu M.g^4/h^2, kde M je tentokrat hmotnost nukleonu a g charakterizuje pritazlivou interakci podobne jako e. 2) Princip nerozlisitelnosti a stlacitelnost pevne latky Zde si ukazeme jak je mozno z principu nerozlisitelnosti dostat typickou hodnotu pro modul pruznosti a) pricip nerozlisitelnosti a nej plynouci vylucovaci princip Princip nerozlisitelnosti nam rika, ze castice s antisymetrickou vlnovou funkci (tj. fermiony) nemohou byt ve stejnem stavu. To znamena, ze je-li v objemu V n castic, nemohou jej sdilet dohromady, ale na kazdou ho pripadne pouze V/n. Pro kvantovy tlak muzeme potom psat VI) p= h^2/3m .(V/n)^(-5/3) Vidime, ze kdyby neexistovali zadne interakce, hmota by se vlivem kvantoveho tlaku rozprskla po celem vesmiru. b) stlacitelnost kovu Mame-li nejaky kov pak tento je tvoren kladne nabitymi ionty mezi nimiz jsou rozptyleny elektrony, jimz v tomto pripade rikame elektronovy plyn. V kovu proti sobe pusobi elektrostaticka pritazlivost iontu a elektronu a kvantovy tlak souboru elektronu. Pokud se tyto protichudne procesy vyrovnaji dostane se latka do rovnovahy. Kvantovy tlak souboru iontu, ktere mohou byt take fermiony je vzhledem k jejich hmotnosti zanedbatelny. Modul stlacitelnosti je jak vime derivace energie podle objemu neboli je to protitlak pusobici proti stlaceni. Jelikoz elektrostaticka energie je umerna 1/x a kvantova kineticka energie jak bylo uvedene vyse je umerna 1/x^2 bude k derivaci prispivat hlavne derivace kineticke energie a tento protitlak bude dan priblizne velikosti kvantoveho tlaku, tj. jak je uvedeno v VI). Vezmeme-li si jako priklad sodik jako jeden z nejjednodussich kovu, jehoz mrizkova konstanta je 0.42 .10^-10 mohu spocitat objem pripadajici na jeden atom. Na jeden atom pripada 1 elektron avsak s dvema ruznymi spiny a tedy kdyz tento objem vydelim jeste dvema (nebot dva ruzne fermiony, napr. dva elektrony s ruznymi spiny jiz mohou sdilet spolecny objem) dostanu objem pripadajici na volny elektron a dle rovnice VI tak dostanu (pokud jsem to tady dobre spocital) pro kvantovy tlak asi p=0.77. 10^10 J/m^3. Podivame-li se do tabulek dostaneme hodnotu asi o 20% mensi, neboli vidime, ze kvalitativni odhad vysel dobre. Je videt, jak se mohou zakladni principy QM snadno pouzit ke kvalitativnim vypoctum aniz bychom museli pristoupit ke hledani nejakych vlastnich funkci, atd. Relace neurcitosti jsou velice mocny nastroj a mnohokrat jej v kvantovce muzeme pouzit k odhadnuti radove velikosti nejruznejsich efektu. Vratime-li se jeste ke kineticke energii castice uveznene v objemu o polomeru x K=h^2/(2.m.x^2) a budeme-li predpokladat, ze k celkove energii castice prispiva prevazne kineticka tj. E=K a zaroven pouzijeme E=m.c^2 dostaneme tak priblizne m=(h/c)/x Odtud vidime, ze obecne v cim mensim objemu, je castice uveznena tim vetsi musi byt jeji hmotnost, coz je v souladu s experimenty. Takovychto vypovedi si kazdy muze snadno provest celou radu a muze tak dostat odpovedi na otazky proc je co jak velke? atd. Na zaver bych se zminil jeste o jednom dusledku QM. Videli jsme, ze QM umoznuje aby existovala hmota a nezhroutila se. Diky vlnovemu charakteru elektronu vznikaji stojate vlny, cimz mohou i v jinak symetrickem prostredi vznikat ruzne tvary techto stojatych vln (neco jako Lissajousovy obrazce). Tyto pak maji na svedomi vznik tvaru zprostredkovane i na vyssi urovni jako jsou tvary krystalu, molekul a nakonec treba i kvetu. Existence tvaru nema v klasicke fyzice zadne zvlastni oduvodneni, za pestrost sveta kolem nas vdecime kvantovce. Tak a tady vidite na co vsechno je QM dobra. Pavouk