Posted By: LubosMotl (*Lumo King Superstring*) on 'CZscience'
Title:     Interpolace aneb Re: Problem pro matfyzaky:)
Date:      Mon May 27 13:25:09 1996

Caues snake & lidi,

  myslim, ze jsi nezvolil uplne spatny zpusob - a nejaky superlepsi, hadam, 
nikdo nepoda. Kdyz ses dopocital az do suma pres i z i^5, je videt, z je to OK 
postup.

Definuji S_i(n)=suma(pro k=1..i) (i^n).
S_7(5)=1^5 + 2^5 + ... 7^5
S_i(5) je polynom 6.stupne v i, koeficient u i^6 je 1/6!=1/720 - stejne jako z 
integrace...

A jinak, vsechny koeficienty se daji spocitat z 7 podminek, aby funkcni 
hodnoty pro 7 hodnot byly spravne (polynomialni interpolace).

Treba pri hledani S_i(2) mame mit
S_0(2)=0 (vzdycky), S_1(2)=1, S_{-1}(2)=0, S_2(2)=5...

Pouzivani zapornych hodnot je legalni a vyhodne a neni na nem nic tezkeho. 
Treba S_{-1}(2) je suma i^2 od nuly do -1... S_0(2)=0^2 (sumuji jen jeden 
clen), S_{-1}(2)=0 take, protoze jeste tento clen uberu. Dale by bylo
S_{-2}(2)=-1 (od S_{-1}(2) musim jeste odecist (-1)^2)... 

Jinak, nemusis resit soustavu linearnich rovnic pro nalezeni spravneho 
polynomu tj. spravne interpolace. Kdyz vezmes vyraz rekneme

       (i-24)(i-31)(i-87)/(13-24)(13-31)(13-87),

dostanes polynom tretiho stupne v i, ktery je nulovy pro 24,31,87 a v bode 13 
ma hodnotu 1, protoze se to vykrati. Metodu myslim vymyslil Lagrange.

Proto, kdyz chces vyraz, ktery ma 
  v bodech i=     -1, 0, 1, 2
  hodnoty          0, 0, 1, 5,

staci vzit nulakrat polynom od prvni hodnoty nula v bode -1, nulakrat polynom 
od druheho bodu 0, jednou od tretiho bodu 1 a petkrat od posledniho bodu 2.

Cili S_i(2) = 0*neco + 0*neco + 1*(i+1)(i+0)(i-2)/(1+1)(1+0)(1-2)
                              + 5*(i+1)(i+0)(i-1)/(2+1)(2+0)(2-1).

Po secteni S_i(2)=(i+1).i.((i-2)/(-2)+5(i-1)/6) = (i+1).i.(2i+1)/6.
Timto zpusobem jdou rychle interpolovat jakekoliv polynomy jakymikoliv body.

      /////   Superstring theory is the language in which God wrote the world.
    /// O __  e-mail: lumo@kolej.mff.cuni.cz, Motlous.bbs@aug3.augsburg.edu
   ///       
  ///_______/  Volte Miss page.  Viz http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lumo/  ;-)
-------------------------------------------------------------------------------
       Dokazali jsme, ze to dokazeme.    CTRL/K maze az do konce radky.