Posted By: Lumo (** Lumidek **) on 'CZscience'
Title:     Re: Axiom vyberu (s dodatkem!)
Date:      Thu Jan 30 00:42:35 1997

Cau Kotwaku!

> Mam takovej malej (uz zase) problem, tentokrat spise matematickej. 
> Nevite nekdo co je to Axiom vyberu? Jinymi slovy Veta o nezachovani 
> Lebesgueovy miry. 

Konecne budu mluvit trochu laicky resp. jako sklerotik. :-) Axiom vyberu je 
predpoklad, ze pro kazdou i nekonecnou mnozinu (soubor) mnozin lze vybrat 
takovou dalsi mnozinu, ze ma jednoprvkovy prunik s kazdou mnozinou z onoho 
souboru. 

Nejsem dost v obraze, abych vedel, jak souvisi s Lebesgueovou mirou. Zde jsi 
asi minil vetu o existenci nemeritelne mnoziny, diky ktere lze rozrezat 
pomeranc a slozit z neho libovolne velky... Dukaz jsem kdysi znal, byla to 
ohromne patologicka, ale vtipna, operace jakesi faktorizace realnych cisel 
podle racionalnich nebo neco takoveho... Je mozne, ze v tom dukazu se 
predpoklada axiom vyberu, ale nejsem si jist.

Pokud je to takhle, rekl bych, ze prijemnost :-) axiomu vyberu je tak 1:1. 
Sice je uzitecny pro dukaz mnoha zaveru, ktere chceme :-), ovsem zase kdyby 
nebyl, mohli bychom mozna konzistentne prijmout dalsi (mily) axiom, ze 
vsechny mnoziny jsou meritelne... 

<Tento odstavec jsem pripsal dodatecne.>
Zamyslel jsem se nad pojmem "faktorizace realnych cisel podle racionalnich" a 
myslim, ze ten dukaz dokazu dat dohromady (v me variante): mejme mnozinu 
realnych cisel <0,1).
Rozdelme tuto mnozinu na soubor podmnozin, jejiz prvky se vzdy lisi jen o 
racionalni cisla. Tj. bude to soubor podmnozin typu Q (prunik s <0,1)), 
Q+pi/10 (prunik s <0,1)) atp.atp. Tyto mnoziny jsou disjunktni a jejich 
sjednocenim je cele <0,1). Vsechny mnoziny maji take stejnou miru, protoze 
jsou jen vzajemne posunute - samozrejme ze nulovou, protoze Q je spocetna.
Pritom soucet techto mer je zase nula - presto ze sjednoceni je cele <0,1), 
ktere ma miru 1. Cili neco jiste neni v poradku. :-) Nemeritelnou mnozinu M 
lze asi sestavit tak, ze z kazde te mnoziny Q, Q+pi/10, Q+pi/3... (pruniky s 
<0,1)) vybereme do nasi (nemeritelne) mnoziny M jeden prvek. Prave NA TOHLE 
potrebuji axiom vyberu. Prvky M nam urcuji posunuti te mnoziny Q - napr. 
pi/10, pi/3 atd. Mira M musi byt kladna, jelikoz sjednocenim ruznych M 
posunutych o ruzna rac. cisla da <0,1) a mira sjednoceni neni nikdy vetsi nez 
soucet mer... Ale kdyz je kladna, muzeme vzit nekolik (dostatecne) ruzne 
posunutych M (rezu z pomerance), sjednotit je a dostat podmnozinu <0,1), ktera 
ma miru vetsi nez jedna. :-) Tj. z kusu~ pomerance muzeme dostat neco, co ma 
miru jako Slunce, jak by rekli Feynmanovi. :-) Neni to absurdni? 

> Nebo to melo co delat s tim, ze v libovolnem fundamentalnim systemu 
> existuje axiom, ktery je pravdivy, ale neda se dokazat. Hilfe ... :-)

Tady bych trosinku odvazneji rekl, ze s timto to primo nesouvisi. Posledni 
vec, kterou jsi popsal, je (prvni) Goedelova veta o neuplnosti...

      /////  Superstring/M-theory is the language in which God wrote the world.
    /// O __        Your Lumidek.  mailto:lmot2220@menza.mff.cuni.cz
   ///           ---------------------------------------------------
  ///_______/             http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lumo/
The most incomprehensible thing about the world is that it's comprehensible. AE
-------------------------------------------------------------------------------