Posted By: zdenek (zdenek) on 'CZscience'
Title:     jeste k te funkci...
Date:      Mon Mar 24 22:43:37 1997

 Ahoj vsichni,
 byly tu nejake dotazy, tak k tomu jeste neco trochu pripisu.
 Tedy: proc je lim sup x->x_0 (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) >= K   (*)  
             a lim inf x->x_0 (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) =< -K. 
 Dokazi 1. radek, druhy je analogicky.
 Mejme dano x_0 z R, D > 0, 0 < K < nekonecno.
 Jiste najdeme `k` takove, ze plati 2*10^-2k < D, (5/36)*10^k > K    :-) 
 Nyni zvolime cisla `a`, `b` ruzna od x_0 takto: 
   a je nejvetsi cislo < x_0 takove, ze f_k(x) = 0, 
   b je nejmensi cislo > x_0 takove, ze f_k(x) =  (1/2)*10^-k.
 (Kdyz si predstavite funkci f_k(x), tak je videt smysl teto volby.) 
 Mame tedy:  0 < b-a < 2*10^-2k; 
             (f_k(b)-f_k(a))/(b-a) = ((1/2)*10^-k)/(b-a) >= (1/4)10^k. 
 Dale pro `a`, `b` plati toto: f_n(a) = f_n(b) = 0  pro n > k   !!! 
 Z toho pro fci `f` plyne: 
  (f(b)-f(a))/(b-a) = suma{n=0 az k} (f_n(b)-f_n(a))/(b-a) >=
                   >= (10^k)/4 - suma{n=0 az k-1} 10^n =
                    = (10^k)/4 - ((10^k)-1)/(10-1) > (5/36)*10^k > K
 Nyni oznacme `c` to cislo z `a` a `b`, pro ktere plati
  (f(c)-f(x_0))/(c-x_0) >= (f(b)-f(a))/(b-a) > K. (je to prave jedno z nich)
 Soucasne ale je c-x_0 < b-a =< D; a tim je dokazano  (*).
 No, doufam, ze se v tom aspon trochu orientujete :-)
                                                           Zdenek 
                                                   'work hard, play hard'