Posted By: Petrik (Petrik) on 'CZscience'
Title:     Jak si predstavit zakriveni
Date:      Tue Jul 18 09:47:24 2000

Sorrac, povazoval jsem za dulezitejsi neco napsat o merenich, ktera ukazuji, 
ze je vesmir s velkou presnosti plochy.

Zakriveni si skutecne muzes v nejprimitivnejsim pripade predstavit uzitim 
jednoho dodatecneho rozmeru (nebo radeji vice). Do vicerozmerneho prostoru 
pak muzes vnorit menerozmerny prostor podobne, jako (zakrivenou) 
dvojrozmernou karoserii do trojrozmerneho prostoru. V male oblasti vypada 
zakriveny prostor vzdycky podobne jako plochy, ovsem cim vetsi oblast 
studujes, tim se zakriveni vice projevuje. 

Pokud uzijes jen jeden pridany rozmer, nemuzes ziskat obecny tvar zakriveneho 
prostoru (s vyjimkou dvojrozmerneho prostoru vnoreneho do trojrozmerneho). 
Pro znalce: lokalne lze (d+1)-vou souradnici psat jako funkci zakladnich 
zbylych d souradnic, tudiz mam jen jednu funkci d souradnic, zatimco obecna 
geometrie je udana d(d+1)/2 funkcemi (symetricky metricky tenzor) souradnic - 
presneji receno minus d souradnic za obecnou reparametrizaci: tedy presneji 
lze rici, ze obecna geometrie je zadana d(d-1)/2 funkcemi v kazdem bode. Jen 
pro d=2 je toto cislo rovno jedne, tedy jen dvojrozmerny prostor lze obecne 
vzdycky znazornit vnorenim do trojrozmerneho. Pro zcela obecnou geometrii je z 
teto uvahy jasne, ze potrebuji prinejmensim d(d-1)/2 dodatecnych souradnic. 

(Pokud mne nejde o presnou geometrii, ale jen o topologii nebo co, staci neco 
jako d extra souradnic, neznam ale detaily.)

Na obecny tvar potrebujes obecne vice dimenzi. Fyzici ale postupuji jinak a 
zadne dodatecne rozmery pro znazorneni zakriveni nepouzivaji. Nakonec zijeme 
jen v 3+1 rozmerech, takze "ostatni" prostor mimo "nasi" plochu nema vubec 
zadny fyzikalni vyznam. V zadnem pripade nelze pridany rozmer, ktery 
potrebujes ke vnoreni prostoru do vicerozmerneho prostoru, interpretovat jako 
nejakou fyzikalni velicinu, napriklad cas; to je odpovedi na jednu z Tvych 
otazek. Je take uplne nesmyslne predstavovat si, ze dvojrozmerne plostice si 
zakrivuji vicerozmerny prostor. Zakriveni existuje uz v d dimenzich, 
vicerozmerny prostor, do nehoz jsme zakriveni, je v tomto pripade jen 
psychologickou berlickou a realne vubec neexistuje. (V tomto momentu si 
nemohu odpustit zminku o tom, ze podle novych modelu teorie superstrun mohou 
existovat nejen dodatecne skryte dimenze, ale nas svet muze byt opravdu 
"blanou", ktera se ve vicerozmernem prostoru vznasi. Tohle ale nenastava, 
pokud vice rozmeru uzijeme jen jako nastroje na predstaveni si zakriveni.) 

Fyzici postupuji uzitim tzv. metrickeho tenzoru. Predstav si, ze mas plochou 
rovinu popsanou kartezskymi souradnicemi x,y. Pokud zmenis souradnice o male 
hodnoty dx,dy, ziskas sikmou carku, jejiz delka ds splnuje podle Pythagorovy 
vety ds^2=dx^2+dy^2. Muzes ovsem pouzit take polarni souradnice, v nichz plati 
ds^2=dr^2+r^2.d phi^2. Vsimni se, ze koeficienty pred dr^2 a dphi^2 jsou 
nejake funkce obecne r,phi. V jeste obecnejsim pripade muzes mit i zbyly 
bilinearni clen dr.dphi. Tak napriklad pokud zapises metriku jako 
ds^2=dtheta^2+sin^2(theta).dphi^2, presne popises geometrii povrchu koule o 
polomeru jedna. Vsimni se, ze jsem zadny treti rozmer nepouzil, stacily mne 
souradnice theta,phi, a presto je v nich ulozena veskera informace o vlastni 
(intrinzicke) krivosti povrchu koule. 

Obecna (zakrivena) Riemannova metrika je tedy popsana vzorcem

                ds^2 = suma_{i,j=1...d} g_{ij}(x^i).dx^i.dx^j,

kde sumace probiha pres vsech d^2 konfiguraci indexu i,j, souradnice jsou 
oznaceny s hornim indexem x^i a koeficienty bilinearniho vyrazu jsou obecnymi 
funkcemi souradnic x^i. Pokud jsou napriklad koeficienty metrickeho tenzoru 
g_{ij} rovny konstantam, dostanes plochou geometrii. Z funkci g_{ij} muzes 
spocitat jisty vyraz, obsahujici druhe (a prvni) derivace g_{ij}, abys ziskal 
tzv. Riemannuv tenzor krivosti, ktery presne vycisluje, nakolik je geometrie 
popsana metrikou g_{ij} zakrivena. Poscitanim jistych slozek muzes vypocitat 
take Ricciho tenzor a skalarni krivost, ktera vyjadruje neco jako 1/a^2, kde 
"a" je odpovidajici polomer zakriveni. 

Co se tyce toho, jestli se cas jen veze, podle teorie relativity lze rici, ze 
co plati pro prostor, plati i pro cas. Cas musis povazovat za rovnopravnou 
souradnici (byt s opacnou signaturou), a tudiz se muze zakrivovat, 
vychylovat, michat s ostatnimi souradnicemi apod.

Zdravi
Lumidek