Posted By: Lumo (www.visaci.cz/~lumo) on 'CZscience'
Title:     Definice rychlosti
Date:      Thu Aug 28 09:26:37 1997

Ahoj Kiwi!

>     - neboli vsechny 4 souradnice. Ted to vypada, ze [x,y,z,t] jsou 4
> nezavisle souradnice.

Ano, tak jest. :-)

>     Nekdy jsem slysela rikat, ze na jedne soustave bezi cas rychleji nez na 
> jine, pokud se ty dve soustavy vuci sobe pohybuji nejakou rychlosti. 

To jsi opravdu slysela, jen na tomto boardu asi desetkrat. ;-) Je to zde totiz 
jedna z vnitrostatnich ideologickych poucek, udrzovanych pri zivote 
room-aidem. :-)

> Ja jsem si porad myslela, ze na jedne soustave maji "jiny cas" nez na 
> druhe. Jak se to tedy mysli, ze "cas bezi rychleji"?

Predstavme si, ze casoprostor je euklidovsky - a omezme se na jednu casovou a 
jednu prostorovou souradnici t,x. Zakresleme udalosti do roviny. Vsechno, co 
se stalo v case t, kresleme do vodorovne cary se souradnici t... Nasledujici 
obrazek zachycuje vlak, jedouci skoro rychlosti svetla k nadrazi (cti ho zdola 
nahoru). 

 Nadrazi
        vlak
 Nadrazi                           t A
         vlak                        |
 Nadrazi                             |
          vlak                       |
 Nadrazi                             |
           vlak                      --------> x

Svetocara nadrazi je takova tlusta svisla cara, zatimco svetocara vlaku je 
sikma. Cela fyzika lze popsat stejne dobre i v soustave vlaku, coz je 
definitoricky takova soustava, kde je svetocara vlaku svisla.

Podle Newtona ziskame obrazek v soustave vlaku prostym zkosenim puvodniho 
obrazku. Vodorovne cary zustanou vodorovne, akorat se vuci sobe posunou: 

      Nadrazi
             vlak
     Nadrazi
             vlak
    Nadrazi
             vlak
   Nadrazi
             vlak

Podle teorie relativity vsak spravny obrazek v soustave vlaku ziskame ROTACI 
puvodniho obrazku (presneji receno Lorentzovou transformaci, coz je rotace 
zachovavajici Pythagorovu vetu s ROZDILEM ctvercu namisto SOUCTU). Takova 
transformace neni presne rotaci, ale linearni transformaci, ktera zachovava 
plochu a smer linii, ktere jdou pod uhlem 45 stupnu (to odpovida shodnosti 
rychlosti svetla ve vsech soustavach). 

Pokud se divas v mem euklidovskem modelu, cara v soustave rotovane o uhel alfa 
bude zkracena faktorem cosinus alfa, tedy vsechny deje probihajici v 
pohybujici se (rotovane) soustave se nam budou jevit ZRYCHLENE 1/cos alfa 
krat. Ve skutecnosti, diky idefinitni signature, ve skutecnem svete se 
projevuje DILATACE casu, tj. jevy v pohybujici se soustave se nam jevi 
pomalejsi. Rychlost merena v dane soustave je vzdy definovana
                         (dx/dt,dy/dt,dz/dt),

coz v nasem hrackovem euklidovskem modelu znamena, ze svetocara pod uhlem alfa 
odpovida telesu, ktere se pohybuje od nas rychlosti tangens alfa. Ve 
skutecnem svete (s +--- signaturou) je rychlost hyperbolickym tangensem 
jakehosi "hyperbolicky mereneho" uhlu. 

> Jak treba taky definujeme rychlost, kdyz ds a dx nejsou stejny? ds/dt nebo 
> dx/dt? 

Rychlost definujeme dx/dt. Cili je-li rychlost rovna jedna (tj. rychlosti 
svetla), svetocara v casoprostoru je linie pod uhlem 45 stupnu. Kdybys 
definovala velicinu ds/dt, byla by jednoduchou funkci rychlosti (rychlosti 
vynasobenou sqrt(1-v^2/c^2)). Ovsem pro svetlo by tato velicina byla rovna 
nule, protoze svetlo nestarne: kdyz nekdo leti prakticky svetelnou rychlosti, 
doletne kamkoliv, aniz by zestarnul. Ze soustavy nasi totiz jeho hnilobne 
procesy podlehaji velmi silne dilataci casu. Z hlediska jeho soustavy jsou 
proletane vzdalenosti v podelnem smeru velmi zkraceny kontrakci delky.

To znamena, ze kdyz postavime rakety letajici skoro svetelnou rychlosti :-), 
muzeme se dostat jakkoliv daleko jeste v nasem zivote. :-) 

> > Samozrejme, zakriveni je zpusobeno hmotou a je vetsi kolem hmotnych teles.
> 
>     V tom puvodnim vzorecku s^2 = ... hmota nebyla. 

V jednoduchem vzorci specialni relativity
                  ds^2 = c^2.dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2

neni zadna hmota, take nepopisuje zadne zakriveni a zadnou gravitaci. 
Zobecneni tohoto vzorce obecnou relativitou je
                  ds^2 = suma_{m,n} g_mn.dx^m.dx^n,

kde g_mn je takzvany metricky (symetricky g_mn=g_nm) tensor, soubor 10 cisel 
zavisejicich na x0,x1,x2,x3 - geometrie se muze menit od bodu k bodu. Suma zde 
probiha pres vsech 16 kombinaci indexu m,n=1,1 az 4,4.

> Ma to asi neco spolecnyho 
> se vzoreckem E=mc^2. Podle toho, co jsi psal o zakriveni prostoru kolem 
> hmotnych teles by se mi zdalo, ze ten prostor asi nebude ani tak povrch 
> 4-rozmerne koule, ale spis povrch 4-rozmerneho hodne zprohybaneho telesa. 

Presne tak, ta koule je ve skutecnosti takova zmackana vlivem nehomogenity 
hmoty ve vesmiru, ctyrrozmerna koule je jen takovou uhlazenou aproximaci. 

> Ale je to blbost, protoze ten puvodni vzorecek - tam zadny zprohybani
> nebylo. Nojo; kde se tam vlastne vezme ta hmota?

Jo, tam jsem tu hustotu hmoty zprumeroval a predpokladal, ze hmota vyplnuje 
vesmir homogenne; tento predpoklad je nakonec pravdepodobne spravny, pokud se 
divame na vesmir pod rozlisenim 300 megaparseku - krychle o teto hrane uz maji 
podle pozorovani prakticky stejnou hmotnost uvnitr. 

Mej se prima

      /////  Superstring/M-theory is the language in which God wrote the world.
    /// O __        Your Lumidek.  mailto:motl@karlin.mff.cuni.cz
   ///           ---------------------------------------------------
  ///_______/             http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lumo/
Mazte zbytecne casti replikovanych postu. Uzijte hmat CTRL/K pro smazani radky!
-------------------------------------------------------------------------------