Posted By: Lumo         (http) on board 'CZscience'
Title:     Renormalizace
Date:      Tue Oct 10 00:37:33 1997
WWW-Info:  posted from zino.rutgers.edu (165.230.193.99)

Ahoj lodyhine, nazdar lidi!

Pokusim se jednoduse, ale ne zase prilis zjednodusene :-), vysvetlit ideu
renormalizace. Zacnu ale odpovedmi na lodyhinuv post...

>         E = (N+1/2).hf,
> proc nemuzeme hf/2 odecist hned tady, dokud je to konecne? :-)  

Ano, muzeme, take to delame. :-) Je videt, ze mas odhad toho, co se dela. Ale
tohle neni jediny typ nekonecna, se kterym se potkame. Tenhle prispevek od
oscilatoru existuje i v neinteragujici teorii. Pak mas ale nekonecna, ktera
vznikaji diky interakcim, napriklad diky tomu, ze elektron i v kvantove teorii
"pusobi silou sam na sebe", tj. neustale vyzaruje a prijima virtualni fotony,
diky cemuz ma nekonecnou vnitrni energii (stejne jako cokoliv, co ma naboj,
ktery sam sebe odpuzuje, nacpan do nekonecne maleho objemu, a to i v klasicke
tj. nekvantove elektromagneticke teorii).

> Takze svinuti prebytecnych rozmeru do kulicky je dusledkem naruseni
> supersymetrie? Nebo je to jinak?      

I to je moznost, dodnes presne duvody naruseni supersymetrie znamy nejsou. Ale
ja mluvil o (nezadoucim) svinuti i tech neprebytecnych ;-) rozmeru, ktere se
typicky objevi v modelu, v nemz narusis supersymetrii. Ale v heteroticke
strune pozorujeme zajimavy "no-scale-supergravity" efekt, kdy (zda se) zustava
kosmologicka konstanta nulova i po naruseni SUSY.

> Jeste by me zajimalo, co je to "coupling constant". Trochu si ctu clanky z
> hep-th a tenhle pojem se tam docela casto vyskytuje :-)    

To jsi teda frajer. ;-) "Coupling constant" je proste a jednoduse "vazebna
konstanta", konstanta (ackoliv muze zaviset napr. na energii, pri niz ji
merime!) :-), ktera udava silu interakce. Tak napriklad elektromagneticka
vazebna konstanta je jednoduse elektricky naboj, ktery ma (v jednotkach, kde
je rychlost svetla, Planckova konstanta a permitivita vakua rovna jedne)
fyzikalni velikost odmocnina ze (4.pi/137.0359...), kde 1/137.035... je
konstanta jemne struktury (mereno pri nulove hybnosti).

Vetsina vypoctu ve fyzice vysokych energii se dela tzv. poruchovou
(perturbativni) technikou, kdy zname jednoduchou teorii pri nulove vazebne
konstante (kdy nic neinteraguje a elektrony a fotony si letaji volne
prostorem) a pak pocitame poruchy, ktere nastanou diky interakci, jako
mocninne rady ve vazebne konstante... Diky tomu, ze je vazebna konstanta
(napriklad 1/137) male cislo, staci prvnich par clenu, abys dostal dost presny
vysledek ucinnych prurezu apod.

Pojdme jiz ale k vykladu renormalizace
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
V lagranzianu (to je takovy vyraz podobny energii, ktery popisuje vsechny
interakce a castice daneho typu) vystupuji veliciny jako elektromagneticky
potencial v ruznych bodech a casech, elektronove pole v ruznych bodech a
casech, hmota elektronu (...) a velikost elektrickeho naboje.

Pokud se system vyviji podle tohoto lagranzianu, opravdu se v nem
vyskytnou fotony, elektrony apod., ktere spolu interaguji. Ale ty
opravdove fyzikalni fotony a elektrony nejsou uplne presne ty fotony a
elektrony, ktere vidime v lagranzianu: opravdove elektrony kolem sebe maji
elektrostaticke pole slozene z fotonu, realne fotony se neustale myslene
rozdvojuji na elektron-pozitronove pary atp. A take fyzikalni velikost
elektrickeho naboje je trosku neco jineho nez to, co primo vidime v
hamiltonianu, protoze k idealizovane prime interakci elektronu s fotonem
je treba pripocitat slozitejsi diagramy, kdy elektron nejprve vyzari     
foton, pak interaguje s jinym fotonem a pak zase pohlti puvodni foton
apod.

Proto tem velicinam v lagranzianu rikame "hole" ("bare"), abychom je
odlisili od fyzikalnich, a znacime je obvykle indexem "0". Fyzikalni veliciny
jsou obecne jina cisla a pole, ktere musime spocitat zapoctenim i vsech
korekci, kdy se obcas nejaky foton vyzari, vykreuje elektron-pozitronovy par a
zase je zanihiluje atp. Hola pole muzeme psat jako nejaka renormalizacni
konstanta krat fyzikalni pole.

Pak tedy muzeme lagranzian prepsat do reci fyzikalnich poli, ovsem cleny budou
obsahovat navic renormalizacni koeficienty. Do techto renormalizacnich
koeficientu budou nakonec skryta vsechna nekonecna: hola pole a hole konstanty
jsou vlastne nekonecne, renormalizacni konstanty jsou take nekonecne, ale to
tak vtipne, ze celkovy pomer - tj. fyzikalni (renormalizovane) veliciny uz
jsou konecne.

K praktickym vypoctum se uziva metoda kontraclenu (counterterms). Spociva to v
tom, ze clen v lagranzianu rekneme

            Z.F_mn.F^mn/4             (puvodne F0_mn.F0^mn),

kde Z je renormalizacni konstanta pro elektromagneticke pole a F je tenzor
elektricke a magneticke intenzity (relativisticky), prepises tak, ze
(nekonecny) renormalizacni koeficient Z (ktery je vsak roven 1 pro teorii bez
interakce) napises jako 1+delta, tedy mas

               F_mn.F^mn/4 + delta.F_mn.F^mn/4,

kde clen umerny delta je kontraclen. :-) Vtip je v tom, ze zatimco clen
F_mn.F^mn/4 zahrnes do volne casti, "kontrclen" povazujes za interakcni clen,
to jest Feynmanovy diagramy take mohou obsahovat specialni typ vrcholu, z
nehoz v tomto pripade vybihaji dve fotonove linie (je kvadraticky v
elektromagnetickem poli)...

Konstanty kontraclenu delta... pritom naladis tak, abys celkovym vypoctem
dostal spravnou velikost hmoty elektronu, nulovou hmotu fotonu, spravnou
normalizaci techto poli a eventualne par dalsich veci. Techto podminek, ktere
musis nastavit, je konecne (male) mnozstvi, a pritom uzitim teorie muzes
spocitat nekonecne mnozstvi ruznych procesu a velicin, cili teorie ma stale
velkou prediktivni silu.

Konstanty delta jsou tedy jakesi mocninne rady ve vazebne konstante, kde
koeficienty jsou tak vtipne nekonecna cisla, ze celkovy vypocet zahrnujici
vsechny diagramy vcetne tech s kontrcleny da konecne vysledky. Jak se realne
pracuje s tim, ze koeficienty jsou nekonecne?

Takova nekonecna obvykle regularizujeme nejakym parametrem. Napriklad se uziva
dimenzionalni regularizace, coz je vypocet postaveny na tom, ze procesy
neprobihaji ve 4, ale ve 4-epsilon (napriklad 3.99) :) dimenzich. Ano, zni to
legracne, ale dava to perfektni vysledky. 

Divergence pak nastavaji jen pro d=4, ale uz pro 3.99 jsou vypocty konecne.
Veliciny ve 4-epsilon dimenzich obsahuji i cleny umerne 1/epsilon, proto jsou
nekonecne pro d=4 (epsilon=0). Pomoci takoveho epsilon pak muzete dostat
realnou velikost nekonecen pod kontrolu. :-)

Jinym zpusobem je Pauliho-Villarsova regularizace nebo jeji prostsi odnoz,
ultrafialovy rez: zhruba receno zavedeme nejakou hranici hybnosti a uvazujeme
jen hybnosti do teto meze Lambda. Pro Lambda jdouci do nekonecna dostaneme
puvodni teorii, stejne jako pro epsilon jdouci k nule. Vsechny divergentni
integraly jsou pak vyjadreny pomoci Lambda (presneji logaritmus Lambda) nebo
1/epsilon. Logaritmus Lambda a 1/epsilon hraji v podstate stejnou roli a
nehledel na zvoleny zpusob regularizace dostaneme stejne fyzikalni vysledky,
ktere jsou samozrejme nezavisle na Lambda ci epsilon.

Zkusim to shrnout: veliciny v lagranzianu nejsou primo ty, ktere merime
fyzikalne, proto se mohou lisit od fyzikalnich o faktor. Zvolime-li tento
faktor spravne, aby nam rekneme tri veliciny vysly konecne a spravne, vyjdou
nam uz konecne vsechny ostatni veliciny (a pocitat muzeme opravdu nekonecne
mnoho veci) - diky cemuz ma teorie porad velkou prediktivni silu.

Zdravi
Lubos

Search the boards