Posted By: Lumo (http) on board 'CZscience' Title: Renormalizace Date: Tue Oct 10 00:37:33 1997 WWW-Info: posted from zino.rutgers.edu (165.230.193.99) Ahoj lodyhine, nazdar lidi! Pokusim se jednoduse, ale ne zase prilis zjednodusene :-), vysvetlit ideu renormalizace. Zacnu ale odpovedmi na lodyhinuv post... > E = (N+1/2).hf, > proc nemuzeme hf/2 odecist hned tady, dokud je to konecne? :-) Ano, muzeme, take to delame. :-) Je videt, ze mas odhad toho, co se dela. Ale tohle neni jediny typ nekonecna, se kterym se potkame. Tenhle prispevek od oscilatoru existuje i v neinteragujici teorii. Pak mas ale nekonecna, ktera vznikaji diky interakcim, napriklad diky tomu, ze elektron i v kvantove teorii "pusobi silou sam na sebe", tj. neustale vyzaruje a prijima virtualni fotony, diky cemuz ma nekonecnou vnitrni energii (stejne jako cokoliv, co ma naboj, ktery sam sebe odpuzuje, nacpan do nekonecne maleho objemu, a to i v klasicke tj. nekvantove elektromagneticke teorii). > Takze svinuti prebytecnych rozmeru do kulicky je dusledkem naruseni > supersymetrie? Nebo je to jinak? I to je moznost, dodnes presne duvody naruseni supersymetrie znamy nejsou. Ale ja mluvil o (nezadoucim) svinuti i tech neprebytecnych ;-) rozmeru, ktere se typicky objevi v modelu, v nemz narusis supersymetrii. Ale v heteroticke strune pozorujeme zajimavy "no-scale-supergravity" efekt, kdy (zda se) zustava kosmologicka konstanta nulova i po naruseni SUSY. > Jeste by me zajimalo, co je to "coupling constant". Trochu si ctu clanky z > hep-th a tenhle pojem se tam docela casto vyskytuje :-) To jsi teda frajer. ;-) "Coupling constant" je proste a jednoduse "vazebna konstanta", konstanta (ackoliv muze zaviset napr. na energii, pri niz ji merime!) :-), ktera udava silu interakce. Tak napriklad elektromagneticka vazebna konstanta je jednoduse elektricky naboj, ktery ma (v jednotkach, kde je rychlost svetla, Planckova konstanta a permitivita vakua rovna jedne) fyzikalni velikost odmocnina ze (4.pi/137.0359...), kde 1/137.035... je konstanta jemne struktury (mereno pri nulove hybnosti). Vetsina vypoctu ve fyzice vysokych energii se dela tzv. poruchovou (perturbativni) technikou, kdy zname jednoduchou teorii pri nulove vazebne konstante (kdy nic neinteraguje a elektrony a fotony si letaji volne prostorem) a pak pocitame poruchy, ktere nastanou diky interakci, jako mocninne rady ve vazebne konstante... Diky tomu, ze je vazebna konstanta (napriklad 1/137) male cislo, staci prvnich par clenu, abys dostal dost presny vysledek ucinnych prurezu apod. Pojdme jiz ale k vykladu renormalizace ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ V lagranzianu (to je takovy vyraz podobny energii, ktery popisuje vsechny interakce a castice daneho typu) vystupuji veliciny jako elektromagneticky potencial v ruznych bodech a casech, elektronove pole v ruznych bodech a casech, hmota elektronu (...) a velikost elektrickeho naboje. Pokud se system vyviji podle tohoto lagranzianu, opravdu se v nem vyskytnou fotony, elektrony apod., ktere spolu interaguji. Ale ty opravdove fyzikalni fotony a elektrony nejsou uplne presne ty fotony a elektrony, ktere vidime v lagranzianu: opravdove elektrony kolem sebe maji elektrostaticke pole slozene z fotonu, realne fotony se neustale myslene rozdvojuji na elektron-pozitronove pary atp. A take fyzikalni velikost elektrickeho naboje je trosku neco jineho nez to, co primo vidime v hamiltonianu, protoze k idealizovane prime interakci elektronu s fotonem je treba pripocitat slozitejsi diagramy, kdy elektron nejprve vyzari foton, pak interaguje s jinym fotonem a pak zase pohlti puvodni foton apod. Proto tem velicinam v lagranzianu rikame "hole" ("bare"), abychom je odlisili od fyzikalnich, a znacime je obvykle indexem "0". Fyzikalni veliciny jsou obecne jina cisla a pole, ktere musime spocitat zapoctenim i vsech korekci, kdy se obcas nejaky foton vyzari, vykreuje elektron-pozitronovy par a zase je zanihiluje atp. Hola pole muzeme psat jako nejaka renormalizacni konstanta krat fyzikalni pole. Pak tedy muzeme lagranzian prepsat do reci fyzikalnich poli, ovsem cleny budou obsahovat navic renormalizacni koeficienty. Do techto renormalizacnich koeficientu budou nakonec skryta vsechna nekonecna: hola pole a hole konstanty jsou vlastne nekonecne, renormalizacni konstanty jsou take nekonecne, ale to tak vtipne, ze celkovy pomer - tj. fyzikalni (renormalizovane) veliciny uz jsou konecne. K praktickym vypoctum se uziva metoda kontraclenu (counterterms). Spociva to v tom, ze clen v lagranzianu rekneme Z.F_mn.F^mn/4 (puvodne F0_mn.F0^mn), kde Z je renormalizacni konstanta pro elektromagneticke pole a F je tenzor elektricke a magneticke intenzity (relativisticky), prepises tak, ze (nekonecny) renormalizacni koeficient Z (ktery je vsak roven 1 pro teorii bez interakce) napises jako 1+delta, tedy mas F_mn.F^mn/4 + delta.F_mn.F^mn/4, kde clen umerny delta je kontraclen. :-) Vtip je v tom, ze zatimco clen F_mn.F^mn/4 zahrnes do volne casti, "kontrclen" povazujes za interakcni clen, to jest Feynmanovy diagramy take mohou obsahovat specialni typ vrcholu, z nehoz v tomto pripade vybihaji dve fotonove linie (je kvadraticky v elektromagnetickem poli)... Konstanty kontraclenu delta... pritom naladis tak, abys celkovym vypoctem dostal spravnou velikost hmoty elektronu, nulovou hmotu fotonu, spravnou normalizaci techto poli a eventualne par dalsich veci. Techto podminek, ktere musis nastavit, je konecne (male) mnozstvi, a pritom uzitim teorie muzes spocitat nekonecne mnozstvi ruznych procesu a velicin, cili teorie ma stale velkou prediktivni silu. Konstanty delta jsou tedy jakesi mocninne rady ve vazebne konstante, kde koeficienty jsou tak vtipne nekonecna cisla, ze celkovy vypocet zahrnujici vsechny diagramy vcetne tech s kontrcleny da konecne vysledky. Jak se realne pracuje s tim, ze koeficienty jsou nekonecne? Takova nekonecna obvykle regularizujeme nejakym parametrem. Napriklad se uziva dimenzionalni regularizace, coz je vypocet postaveny na tom, ze procesy neprobihaji ve 4, ale ve 4-epsilon (napriklad 3.99) :) dimenzich. Ano, zni to legracne, ale dava to perfektni vysledky. Divergence pak nastavaji jen pro d=4, ale uz pro 3.99 jsou vypocty konecne. Veliciny ve 4-epsilon dimenzich obsahuji i cleny umerne 1/epsilon, proto jsou nekonecne pro d=4 (epsilon=0). Pomoci takoveho epsilon pak muzete dostat realnou velikost nekonecen pod kontrolu. :-) Jinym zpusobem je Pauliho-Villarsova regularizace nebo jeji prostsi odnoz, ultrafialovy rez: zhruba receno zavedeme nejakou hranici hybnosti a uvazujeme jen hybnosti do teto meze Lambda. Pro Lambda jdouci do nekonecna dostaneme puvodni teorii, stejne jako pro epsilon jdouci k nule. Vsechny divergentni integraly jsou pak vyjadreny pomoci Lambda (presneji logaritmus Lambda) nebo 1/epsilon. Logaritmus Lambda a 1/epsilon hraji v podstate stejnou roli a nehledel na zvoleny zpusob regularizace dostaneme stejne fyzikalni vysledky, ktere jsou samozrejme nezavisle na Lambda ci epsilon. Zkusim to shrnout: veliciny v lagranzianu nejsou primo ty, ktere merime fyzikalne, proto se mohou lisit od fyzikalnich o faktor. Zvolime-li tento faktor spravne, aby nam rekneme tri veliciny vysly konecne a spravne, vyjdou nam uz konecne vsechny ostatni veliciny (a pocitat muzeme opravdu nekonecne mnoho veci) - diky cemuz ma teorie porad velkou prediktivni silu. Zdravi Lubos