Posted By: Lumo         (http) on board 'CZscience'
Title:     Jemna struktura a poruchovy pocet
Date:      Thu Oct 10 19:46:02 1997
WWW-Info:  posted from zino.rutgers.edu (165.230.193.99)

Ahoj lodyhine, nazdar lidi!

>> konstanta jemne struktury (mereno pri nulove hybnosti). 
>Co je to jemna struktura? 

Ja mluvil o konstante jemne struktury, coz je 1/137.036... a muzes to spocitat
jako e^2/(hbar.c) v soustave CGS, coz je asi tak epsilon_0.e^2/(4.pi.hbar.c) v
soustave SI, urcuje silu elektromagneticke interakce: e je elektricky naboj,
hbar je Planckova konstanta a c je rychlost svetla, epsilon_0 permitivita
vakua.

Nicmene jmeno nese po jemne strukture atomu, budu mluvit jen o vodiku. Podle
nerelativisticke kvantove mechaniky, energie vodikoveho atomu je funkci jen
hlavniho kvantoveho cisla n. Tato hladina je 2n^2 krat degenerovana, protoze
vsechny ruzne hodnoty l=0,1,...n-1 a pro ne vsechny mozne m=-l,-l+1,...,l jsou
povoleny stejne jako dve projekce spinu pro kazdy ze stavu (zkuste si
nascitat, kolik je to dohromady stavu tj. kombinaci l,m,s_z!). Degenerace
znamena, ze na teto energeticke hladine sedi ve skutecnosti 2n^2 stavu
(carek), ktere splyvaji.

Ovsem pravy elektron se chova relativisticky, takze je presnejsi ho popisovat
relativistickou Diracovou rovnici. Typicka rychlost elektronu je radove 1/137
z rychlosti svetla (jak muzete spocitat i klasicky), tj. nerelativisticke
priblizeni je dobre jen proto, ze elektromagneticka vazebna konstanta je mala
a tudiz relativisticke efekty zanedbatelne.

Nicmene ty efekty tu jsou a maji za nasledek, ze energie uz zavisi nejen na
"n", ale take na celkovem momentu hybnosti j. Odchylka od nerelativisticke
energie -const/n^2 pak vychazi zavisla na n,j a je umerna prave cislu 1/137...
a proto se dane konstante e^2/4pi rika konstanta jemne struktury. Kdyz se
podivas na spektrum vodiku (tj. svetelne cary, ktere zbudou, kdyz svetlo ze
zariciho vodikoveho plynu nechas prochazet hranolem), budou ty jednotlive
carky rozdvojene, roztrojene ci podobne... Tomu se rika jemna struktura.

Jen pro uplnost reknu, ze Diracova rovnice ponechava dalsi degeneraci - coz
znamena, ze je stale vice stavu na jednu hodnotu energie - konkretne zde
nezavisi energie na kvantovem cisle "l". Tato degenerace je sejmuta jeste
jemnejsimi efekty z kvantove teorie pole. Jako oslavu reknu, ze tyto efekty
spoctene z QED (kvantove elektrodynamiky) souhlasi s pozorovanymi hodnotami
frekvenci spektra vodiku na 12 desetinnych mist, takze to asi neni nahoda. :-)

> Poruchova technika je tedy metoda reseni parcialnich rovnic, kdy napred  
> vyresim "homogenni" rovnici (bez poruchoveho clenu), pak udelam neco jako  
> variaci konstanty a pocitam skutecne reseni jako radu? Jak jsem pochopil,  
> rovnice v teorii strun jsou takoveho typu, ze se pro ne tato metoda neda  
> pouzit, tj. nedaji se delat nejake aproximace teorie, ktera ma "pojistku  
> proti prekonani". 

Je to metoda reseni nejen parcialnich diferencialnich rovnic, ale jinak jsi
rekl vysvetleni poruchove metody dobre. Ale nepochopil jsi spravne vztah strun
a poruchove teorie: naopak, v teorii strun VSECHNY vypocty byly do konce
80.let provadeny poruchovou metodou. Mocnina vazebne konstanty v poruchovem
rozvoji vznika v teorii strun velmi hezkym zpusobem:

V teorii strun je celkova amplituda (komplexni cislo, jehoz ctverec absolutni
hodnoty jiz urcuje de facto ucinny prurez) integralem pres vsechny historie
spojovani a rozpojovani strun. Takove diagramy maji tvar spojujicich se a
rozpojujicich nohavic od kalhot. Cili v nejnizsim priblizeni mame sferu
(povrch koule), z niz koukaji nohavice strun, ktere se ucastni procesu. Dalsi
prispevek je torus, z nehoz vybihaji nohavice atd. Pocet "drzadel" dane
dvojrozmerne plochy (tedy topologicky vyraz) nam urcuje mocninu vazebne
konstanty, ktere je dany diagram umerny...

Jinou veci je, ze poruchovy vypocet nedava uplne presne hodnoty velicin, ale
tohle je pravda nejen v teorii strun, ale v podstate kterekoliv jine teorii.
Neporuchovym jevum, ktere to zpusobuji, se rika instantony, solitony, v teorii
strun jsou specialnimi solitony D-brany apod.

Duvod je v tom, ze existuji jiste objekty (napr. ony D-brany v teorii strun),
jejichz hmota jde do nekonecna v limite g->0, g je vazebna konstanta. Pak ale
musi byt zcela neviditelne v poruchovem rozvoji (tyto stavy pro g=0 musime
zanedbat, protoze maji nekonecnou energii a nelze je tedy fyzicky vyrobit).

Nicmene pro g>0 jsou pritomne a ovlivnuji i interakce tech objektu, ktere
vidime i pro g=0. Typicky jejich prispevek do interakci je umerny vyrazu jako
exp(-1/g) nebo exp(-1/g^2). A ted si zkus sestrojit Taylorovu radu rekneme
funkce exp(-1/g^2) v bode g=0. :-) Sama tato funkce je v limite pro g->0
nulova, protoze je to exp(-nekonecno). Pokud ji derivujes, abys ziskal dalsi
clen, dostanes 2/g^3.exp(-1/g^2). Stejne tak dalsi derivace budou podil
polynomu v g krat exp(-1/g^2). Ale exp(-1/g^2) jde pro g->0 k nule mnohem
rychleji nez muze jit jakykoliv podil polynomu v g k nekonecnu. Tj. libovolna
derivace funkce exp(-1/g^2) ma v bode 0+ nulovou hodnotu.

To znamena, ze dostanes nulovou Taylorovu radu 0+0g+0g^2+0g^3..., ktera se
nerovna opravdove funkci, kterou jsi chtel vypocitat. Opakuji, ze tato vec se
objevuje nejen v teorii strun, ale v jakekoliv jine teorii.

> Tady se nabizi otazka, proc nenapiseme ten spravny lagranzian :-) Mam 
> pravdu, ze tyhle veci jsou vysadou relativisticke QM? A souvisi to s tim, ze
> v relat. teorii principialne nelze urcit presne treba hybnost, protoze na  
> takove mereni bychom potrebovali nekonecny cas? 

Asi jsem nepochopil, co je "spravny lagranzian". To, co je "spravny
lagranzian", je hlavnim ukolem teoreticke fyziky, o ktery se vsichni primo ci
neprimo snazi. :-) Nebo jsi minil jen spravny lagranzian kvantove
elektrodynamiky, platny v dane oblasti jevu? Ale ten nas JE spravny - a musis
s nim zachazet tak, jak se s nim zachazi (nebo ekvivalentne). :-)

Jinak nekonecny cas na urceni hybnosti je jen nas organizacni problem a
nesouvisi s divergencemi, hybnost v teorii relativity muze byt urcena presne.

Zdravi
Lumidek